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【已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x),(x>0)或-f(x),(x0)或-f(x),(x】
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更新时间:2024-03-29 20:40:17
问题描述:

已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=f(x),(x>0)或-f(x),(x0)或-f(x),(x

陈荣梅回答:
  1)∵f(-1)=0,   ∴a-b+1=0①(1分)   又函数f(x)的值域为[0,+∞),所以a≠0   且由y=a(x+   b   2a   )2+   4a−b2   4a   知   4a−b2   4a   =0即4a-b2=0②   由①②得a=1,b=2(3分)   ∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.   ∴F(x)=   (x+1)2(x>0)   −(x+1)2(x<0)   (5分)   (2)由(1)有g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1=(x+   2−k   2   )2+1−   (2−k)2   4   ,(7分)   当   k−2   2   ≥2或   k−2   2   ≤−2时,   即k≥6或k≤-2时,g(x)是具有单调性.(9分)   (3)∵f(x)是偶函数   ∴f(x)=ax2+1,∴F(x)=   ax2+1(x>0)   −ax2−1(x<0)   ,(11分)   ∵m>0,n<0,设m>n,则n<0.又m+n>0,m>-n>0,   ∴|m|>|-n|(13分)   ∴F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0,   ∴F(m)+F(n)能大于零.(16分)
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